【MIST-147】中出し家政婦（ヘルパー） 清楚で美人な出張家政婦は淫乱・お下劣大好きお手伝いさん！ 日常生活から夜の性活で子作りまで完全サポート！ 对抗的数学天才：数学诚珍重，爱情价更高

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数学是纯正感性的记号。科学的很大一部分是以数学和逻辑为基础的。在某种意旨上，数学便是感性的说话，它是悉数东说念主类发明中最告捷的。关联词正如咱们行将看到的那样，就连数学也有我方的局限。

本文节选自《感性的范围》 第九章 数学濒临的阻遏，此书“返朴的书店”有售，挑升者可点击小措施搜索书名购买。

撰文 | [好意思] 诺桑·亚诺夫斯基

译者 | 王晨

1 写完这封信，就去捍卫爱情了

巴黎，1832 年 5 月 29 日。又名年青的男人正在奋笔疾书。他必须快速写下这封长信，因为需要写的内痛快多，而他知说念我方第二天就会死于横死。

这封信是对他的数学相干的回归，他想在为时太晚之前将这些内容全部写在纸上。他在信的终末苦求他的一又友：“向（知名全国的数学家）雅可比或高斯征求他们的公开意见，不是让他们判断这些定理的真实性，而是评价它们的蹙迫性。我但愿异日有东说念主能够解开这团乱麻。”

第二天，他为了捍卫对又名女子的爱情而参加了一场决斗，末规定如他所料，他受了致命的重伤。被带到当地病院之后，他只活了一天。听说他终末的遗言是说给他哥哥的：“别哭，阿尔弗雷德！我需要我悉数的勇气才气在 20 岁故去。”这个年青东说念主的名字是埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois，1811—1832），而他的使命将持久是当代数学的蹙迫构成部分。

这封信里有什么？20 世纪最伟大的数学家和物理学家之一赫尔曼·外尔写说念：“淌若按照它所含信息的新颖性和久了性来看，这封信约略是东说念主类悉数文件中最蹙迫的文章。” 约略外尔在作念这个评价时有些张惶了，不外伽罗瓦的相干效果果真包含对当代数学和物理学至关蹙迫的想想。一个 20 岁的年青东说念主能够说出什么蹙迫的表面呢？

伽罗瓦出身于 1811 年，那时法国大改进之后的狂热脑怒还莫得散去，这让伽罗瓦渡过了已而而悲催的一世。他的父亲也曾是巴黎原野一个小城市的市长，自后因为一场强烈的政事争端而自尽。伽罗瓦是一个满怀情感且心想复杂的年青东说念主，他的成前途程很拦阻易。他很年青的时辰就千里醉于数学，甚至于苍凉了其他方面的学习。他莫得考上法国最负有名的巴黎空洞理工学院（École Polytechnique），最终插足了一所第二梯队的大学，但敦厚并莫得真实地发现他的理智忠良。伽罗瓦提交了两篇用来发表的论文，末端皆被剪辑弄丢了。自后他参与了激进的政事团体，导致我方被学校开除。目下还不清醒此次致命决斗的另一方是谁，引起决斗的女子的身份也未知。淌若这位年青的天才莫得以这样可怜的方式英年早逝，他还能完成什么样的使命呢？这个问题的谜底只可靠估计了。

伽罗瓦的使命和多项式方程的求解关系。在勾搭他的孝敬之前，咱们必须先相干一些历史。想考底下这个浅显的方程：

ax + b = 0

此类方程称为“线性”方程，大多半中学生知说念如何求 x：

x = –b/a

更复杂的“二次”方程是底下的形势：

ax^2 + bx + c = 0

古典时间的东说念主们就照旧知说念了这种方程的求解方法，而况一直到当今，高中学生还在学习使用“二次公式”求二次方程的解。二次方程骨子上有两个解：

及

谨防这些公式使用了加法、减法、乘法、除法、求平方和平方根等运算。那么“三次”方程呢？如下所示：

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

这种方程的求解存在圭臬公式吗？16 世纪，杰罗拉莫·卡尔达诺指出这个方程有三个解，而况给出了特殊复杂的公式。这些公式使用了普通的运算方式，包括求平方根和立方根。链接下去，咱们不错试着求解“四次”方程：

ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0

洛多维科·费拉里（Lodovico Ferrari，1522-1565）和尼科洛·丰塔纳·塔尔塔利亚（Niccolò Fontana Tartaglia，1499-1557）发现了四次方程的解。你一定很想知说念咱们是否会写下这四个可能的解对应的四个公式。与其将它们写下来，不如说这些“四次公式”使用了普通的运算，包括求平方根、立方根和四次方根。那么“五次”方程呢？如下如示：

ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0

事情在这里变得更预见了。也许有东说念主会合计存在由加减乘除和从平方根到五次方根构成的“五次公式”。这是不合的！不存在这样的公式。19 世纪初，保罗·鲁菲尼（Paolo Ruffini，1765-1822）和尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802-1829）阐扬了不存在这种使用普通运算和求方根的普适公式。这意味着关于每个由a、b、c、d、e、f构成的五次方程，持久皆不会存在浅显的求解公式。这是数学局限性的又一个清醒的例子。一般而言，这个问题是不可解的。关联词某些五次方程存在很容易找到的解。举例，x5 – 1 = 0 有一个解为 x = 1。

这便是伽罗瓦的使命重点。他能够使用某个给定五次方程的悉数笃定该方程能否用普通运算求解。为此，伽罗瓦引入了群（group）的认识。群是一种以对称认识为模子的数学结构。伽罗瓦指出了如何将一个群与每个方程关联起来。在这些对称性的匡助下，他能够判断某给定五次方程能否用普通运算求解。当他对五次方程求解的使命取得勾搭之后，就立即被用在数学和科学的许多其他限度。

这种描述对称性的认识波及当代数学、化学和物理学的一次舛错改进。当代数学和科学的很大一部分相干的是不同形势的对称性，因此也便是不同类型的群。从这个角度，咱们终于不错勾搭外尔对伽罗瓦书信内容蹙迫性的判断：当代数学和科学通俗地使用了伽罗瓦引入的不雅念。

淌若要一五一十地先容伽罗瓦表面（Galois theory）究竟是如何阐扬作用的，咱们一定会浑浑噩噩。简要隘先容一下就富饶了，这个表面开端描述了数学或物理系统的对称性。开荒了这种对称性之后，相干东说念主员就要确保这种对称性在不同运算或物理法例下取得保捏。一个系统不可违犯本人的对称性，这个事实不错看作对该系统的限定。

咱们在 9.1 节见到的不可贬责的古典尺规作图问题皆不错使用伽罗瓦表面阐扬其不可贬责。咱们还莫得征询的另外一个问题是某些正多边形（regular polygon）是否不错用尺规作图构造。等边三角形和正方形是可构造的。正五边形呢？纵情的正 n 边形呢？伽罗瓦表面告诉咱们哪些正 n 边形不错使用尺规作图构造出来。是以淌若

n = 3， 4， 5， 6， 8， 10， 12， 15， 16， 17， 20， 24， …， 257， … ， 65 537， …

那么与之相应的正 n 边形便是可构造的。比较之下，淌若

n = 7， 9， 11， 13， 14， 18， 19， 21， 22， 23， 25， …

那么这样的正 n 边形便是不可构造的。

伽罗瓦表面描述的这种限定性体当今一个很预见的例子上，那便是经典的儿童游戏十五子棋。这个著名的益智游戏有 15 个小方块装配在一个 4×4 的网格里。每次不错移动一个方块，策画是让这些方块按礼貌陈列，如图 9-6 的右半部分所示。关联词某些开局陈列方式无法取得按礼貌的陈列方式。惟有浅显地交换一下编号为 14 和 15 的方块的位置，就无法取得按礼貌的陈列方式，也无法从按礼貌的陈列方式修起到开端的陈列方式。

骨子上这些方块可能的陈列方式一共有 15 的阶乘（15!）种。这些方式中赶巧有一半称为“偶陈列”（even permutation），而另一半称为“奇陈列”（odd permutation）。方块普通形势的移动有一种对称性，只可从偶陈列变成偶陈列，或从奇陈列变成奇陈列。这些阵势体现了该系统的对称性。在图 9-6 中，一种陈列方式是偶陈列，而另一种是奇陈列。

恰是因为这个事实，是以不管咱们进行若干次章程范围内的移动，皆无法将一种陈列方式变成另一种。

还不错在魔方上看出与伽罗瓦表面关系的不可能性。拿出一个十足拼好的魔方，然后只扭动它的一个角（尽管这违犯章程）。将它打乱，然后让一个不雅察力欠安的一又友（没看过本书的一又友）试着拼回原状。这是不可能完成的。一次扭动就让它无法恢修起状，不管用若干法子也不行。

总之，伽罗瓦的方程表面指出了乘法、除法、乘方和求方根等普通运算在方程求解中固有的局限性。多年以来，数学家开发出了使用微积分和无限方法的其他技艺，贬责了这些问题的一部分。是以伽罗瓦表面阐扬了某些问题无法用特定方式贬责。与之近似，淌若允许使用直尺测量确凿的长度，那么悉数正 n 边形皆不错构造出来。关于十五子棋游戏，惟有将悉数棋子皆拿出来，再按照正确的礼貌摆且归就很容易贬指责题。通过舞弊的方式总能贬责魔方问题，也便是将它一块块阻隔，再按礼貌组装起来。这些皆是绕过伽罗瓦描述的数学局限的浅显招式。

2 经营机持久无法贬责的判定问题

假定你找到了一份使命，是在某个建筑承包商辖下打工，匡助客户联想他们瞎想中的厨房。正本一切顺利，直到某个百万大亨的妻子走进来，想更换厨房的地板。她不想要边幅普通的方砖，而想别出机杼地使用圆形的砖。你向她指出圆形的砖没法用，因为会留住无法填充的破绽，如图 9-7 所示。

正五边形合乎吗（见图 9-8）？

正五边形也不合乎，但你莫得废弃，又向她建议使用正六边形，如图9-9 所示。

此次莫得空闲了。正六边形不错用来给地板拼砖。不错看出，有些形势合乎无缝拼接，有些形势不合乎。图 9-10 展示了其他两种只使用一种形势的拼接方法。

很显着还有许多其他形势不错严丝合缝地拼接起来。知名全国的荷兰画家M. C. 埃舍尔（M. C. Escher，1898-1972）制作了一些精彩的蚀刻版画，他将这些奇怪的形势互相拼接在一齐，不留微乎其微破绽。

想考图 9-11 中称为迈尔斯图形（Myers shape）的歪邪形势。

有东说念主也许会合计形势如斯奇怪的拼块不可能不留破绽地遮掩地板。关联词它十足不错作念到这少许。如图 9-12 所示，少许儿问题也莫得。

咱们见到的大多半形势在拼接时使用的方法会让拼接出来的图案自我叠加。这种拼接方式被称为具有周期性。在周期性拼接中，一样的图案一次又一次地出现。关联词某些形势领有不存在叠加图案的拼接方式。这种拼接方式被称为具有非周期性。想考长宽比为 2×1 的矩形。这个形势很容易创造周期性拼接。

关联词咱们也不错用这种矩形创造非周期性拼接。将两个这样的矩形拼在一齐就取得了一个正方形，这种正方形不错垂直或水平遗弃，如图 9-13 所示。由于任何图案皆不错像这样创造出来，因此创造非周期性拼接很容易。

咱们还不错在非周期性图案的问题上上前再走一步。存在某些形势的组合，当你用它们来拼接时，它们酿成的图案持久不会是周期性的。换句话说，这些形势只可拼接出非周期性图案。因此，这些形势被称为非周期性拼块。罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）发现了两组这样的形势，其中一组是“风筝”和“飞镖”，另一组叫作菱形（见图 9-14）。

这些形势有不同的样子。当这些形势的拼接方式令疏浚的样子对接在一齐时，酿成的图案就不会是周期性的。图 9-15 和图 9-16 便是这种非周期性拼接的例子。

让咱们回到帮别东说念主拼厨房地板砖的使命上。淌若存在某种方式能将不同形势的组合输入一台经营机，让它告诉咱们这些形势能否拼接成一块莫得破绽的地面板（毋庸斟酌旯旮问题），那就太妙了。咱们将这个摄取形势并判断它们是否合乎拼接的任务称为拼接问题（tiling problem）。能够贬责拼接问题的经营契机对圆形和正五边形回答“否”，对正方形、等边三角形、正六边形、迈尔斯图形、彭罗斯的“风筝”和“飞镖”以及彭罗斯的菱形回答“是”。这样的经营机措施对你的使命会有浩荡的匡助。

可惜的是，这样的经营机措施不可能存在。20 世纪 60 年代中期，罗伯特·伯杰（Robert Berger）阐扬了不存在能够贬责拼接问题的经营机措施。

他阐扬这少许的方法是指出这个问题比咱们在第 6 章见到的停机问题还难。停机问题问的是某个经营机措施是最终停机照旧堕入死轮回。如咱们所见，任何经营机皆不可能贬责停机问题。既然拼接问题更难，那么它也不可被任何经营机贬责。

具体地说，不错将任何经营进程改换为一组形势，并使顺应且仅当这些经营进程永束缚机的时辰，这些形势才气拼接出一个平面。也便是说这些形势能够拼接地板被等同于经营进程插足死轮回。（咱们在 6.3 节中见过这种改换进程。）不错用图 9-17 形象化地线路这种一个问题改换（或归约）为另一个问题的进程。

在这幅默示图中，一个措施从左侧插足，然后改换成一组形势。假定（造作地）存在一台经营机不错判断一组形势能否酿成无缝拼接。那么咱们就领有一种方法不错判断某个措施是堕入死轮回照旧停机。由于咱们照旧知说念莫得任何方法能贬责停机问题，因此咱们就知说念莫得任何方法能贬责拼接问题。

像拼接问题这样经营机持久无法贬责的判定问题叫作不可判定问题（undecidable problem）。天然这些问题有清醒的界说和客不雅存在的谜底，但任何经营机持久皆无法贬责它们。

值得强调的是，咱们阐扬拼接问题不可判定的方法是基于停机问题不可判定这个事实的。

停机问题可判定矛盾。

图 9-17 指出：

拼接问题可判定停机问题可判定。

将这两个赋存推导聚会起来【MIST-147】中出し家政婦（ヘルパー） 清楚で美人な出張家政婦は淫乱・お下劣大好きお手伝いさん！ 日常生活から夜の性活で子作りまで完全サポート！，咱们取得拼接问题可判定矛盾。因此拼接问题不可判定。判断一组特定的形势能否用来拼接地板，这仅仅比停机问题难因而不可判定的繁密问题之一，这样的问题还有许多许多。